La résistance aérodynamique augmente comme le carré de la vitesse, la puissance absorbée par l'aérodynamique augmente donc comme le cube de la vitesse (courbe rouge figure de droite), tandis que la puissance absorbée par le roulement qui est consommée par l'écrasement du pneu n'augmente que proportionnellement à la vitesse (courbe bleue figure de droite).

Un cycliste de 100 kg qui descend une pente de 10% à 36 km/h consomme une puissance de 100 x 36/(3600/1000) = 1000 Watts, due pour l'essentiel à la résistance de l'air. Pour une vitesse de 18 km/h la puissance aérodynamique sera réduite dans le rapport 8, soit 125 watts, mais la résistance au roulement risquera alors d'être du même ordre, donc il faudrait environ 250 watts pour rouler à 20 km/h.

Nota : l'autonomie due au roulement serait l'autonomie avec une batterie de capacité donnée et un moteur de puissance constante avec un rendement constant avec pour seule résistance à l'avancement la résistance due au roulement et de même pour l'autonomie due à la résistance aérodynamique.La courbe noire épaisse donne l'autonomie finale compte-tenu des résistances roulement+aérodynamique ainsi que des courbes de puissance mécanique et de rendement du moteur.

Le rendement du moteur augmente proportionnellement à sa vitesse de rotation (jusqu'à ce que la force contre électromotrice s'approche de la tension de la batterie) courbe verte figure de gauche, et la puissance mécanique, produit du couple (qui décroit de la valeur max à vitesse nulle vers 0 à la vitesse max) par la vitesse a l'allure de la courbe violette sur la figure de gauche.

Il en résulte une évolution de l'autonomie en fonction de la vitesse qui a l'allure de la courbe noire épaisse de cette même figure.

La vitesse de meilleure autonomie est donc un peu inférieure à la vitesse maxi (25 km/h pour le vae légal), et se situe dans une zone de puissance et de rendement légèrement inférieurs aux valeurs maximales.

Pour un vae légal elle est donc de l'ordre de 15 à 20 km/h.

On peut aussi avec ces diagrammes étudier l'influence du vent qui décale la courbe rouge du graphique de droite sur la gauche s'il est de face (un vent moyen de 3m/sec soit environ 10 km/h décale d'autant la courbe) ou vers la droite s'il est de face. Les côtes ou le poids du vélo augmentent l'effet de puissance nécessaire qui est proportionnel à la vitesse, c'est à dire que leur effet est équivalent à une augmentation du coeffient de résistance au roulement.

Un variateur de vitesse aura un effet d'échelle sur la courbe de puissance mécanique du moteur mais ne modifiera pas le rendement à la même vitesse.

La vitesse d'équilibre est donnée par l'intersection de la courbe de puissance mécanique du moteur avec celle de la puissance mécanique résistante en fonction de la vitesse.(graphique ci-dessous).

On voit par exemple qu'en cas de vent arrière on peut augmenter l'autonomie en réduisant la vitesse au moyen du variateur : on diminue la puissance électrique de 50 % (donc on double la durée de fonctionnement) mais on réduit beaucoup moins la vitesse (donc on augmente l'autonomie).

L'autonomie d'un vélo assisté électriquement se modèlise donc de manière relativement simple en fonction de ses données constructives et ne devrait donc pas donner lieu à allégations ni à contestations.

Pour fixer les ordres de grandeur on voit qu'une batterie de 36 volts avec une capacité de 10 ampèresheures, soit une réserve d'énergie de 360 wattsheure (pesant 15 kgs pour 100 euros en plomb acide gel et 2 kgs pour plus de 300 euros en lithium polymère) demandera une puissance de l'ordre de 200 watts pour rouler à 20 km/h, donc durera 1.8 heure soit une autonomie de 36 km. sur le plat, sans vent, sans pédalage. Elle pourra être légèrement augmentée par le pédalage (+10 km par exemple) mais sera fortement diminuée si on ne soulage pas le moteur dans les côtes et les démarrages ou si on doit contrer un vent de face.

Vite et loin en vae:

L'énergie consommée pour parcourir une distance X se décompose en :
1-énergie potentielle de montées m.g.h
2-énergie de résistance de roulement k.m.g.X
3-énergie de résistance de l'air ro.S.cx.V.V . X / 2
avec g : accélération de la pesanteur =9.81 M/s2
---- m : masse du mobile
---- h : gain en altitude
---- V : vitesse
Donc l'énergie consommée vaut :
---- E (Joules) = X . ( mg .(k + h/X) + ro/2scx . V . V )
et l'autonomie X sera donc de la forme :
---- X (m) = E (Joules) / ( a + b.V2)
avec a = mg . (k+h/X)
---- b = ro/2.S.cx La force de résistance au roulement peut se mesurer à la pente qui permet au vélo d'avancer sans pédaler, par exemple 1% (un vélo chargé sur une descente de 1cm par mètre va commencer à avancer sans pédaler), et le rapport moyen entre les montées et la distance parcourue dépend du relief, mais par exemple on peut l'évaluer à 5% (500 m de cumul de montées pour 10 km parcourus) dans une région de plaine.
Dans une descente de 10% un vélo en roue libre pesant au total 100 kg va s'équilibrer à une vitesse de 10 m/s = 36 km/h par exemple, donc pour V2=100 on aura b.V2 = 100 N , donc b de l'ordre de 1.
En plaine :
---- X = E / ( V2 + 0.06 mg )
soit pour mg = 1000 N
---- X = E / ( V2+60 )
L'énergie Eb est l'énergie stockée dans la batterie ( Voltsxampèresheuresx3600) soit par exemple 1300000 Joules pour une batterie de 36 volts de capacité 12 Ah , à multiplier par le rendement moyen du moteur qui est proportionnel à la vitesse:
---- Eb = 1300000 . V / Vmax ou Vmax est la vitesse à partir de laquelle le moteur passe en générateur de courant.
L'énergie Ep de pédalage est le produit de la puissance de pédalage par le temps X/V, par exemple pour 100 watts de puissance du cycliste :
---- Ep = 100 . X / V D'ou finalement l'expression de l'équation d'autonomie en fonction de l'energie de la batterie et de la vitesse :
---- X (V.V + 60) = 1300000 V/Vmax + 100 X/V
---- X (V.V - 100/V + 60) = 1300000 V/Vmax

--------------- 1300 . V / Vmax
-------- X = _________________ , pour x en km et v en m/s
------------- V.V - 100 / V + 60
avec vmax = 6.5 m/s ( soit 23.4 km/h)

---------- X = 200.V / (V.V - 100/v + 60 )

Pour v=2 m/s---x= 400/14 = 28 km pour v= 7 km/h (min avec 100 watts)
------ 3 -------- 600/39--- 15
Pour V=3.3 m/s x= 660/40= --16 km pour v=10 km/h
------ 4 -------- 800/51 ---16
Pour v=5 m/s --x= 1000/65=--15 km pour v=18 km/h
pour v=6.5 m/s x= 1300/87=- 15 km pour v=23 km/h (max)

On voit que l'autonomie avec pédalage de 100 watts musculaires est peu sensible à la vitesse entre 10 et 20 km/h, mais comme le temps de parcours est réduit d'un facteur 2 entre ces deux vitesses, la puissance électrique délivrée par la batterie sera le double à plus forte vitesse qu'à faible vitesse.(Cet ajustement de puissance est réalisé par le hacheur du variateur de vitesse).

Sur ma trottinette électrique j'avais déjà remarqué que l'autonomie était peu dépendante de la vitesse d'utilisation. Autant rouler vite lorsqu'on le peut, on ne gagne pas d'autonomie en roulant lentement alors que l'on perd du temps

Avec un véhicule électrique lorsqu'on réduit la vitesse on réduit la chaleur produite par le frottement de l'air, mais on augmente celle produite par effet joule dans le moteur.

Les autonomies auxquelles on aboutit par ce calcul théorique sont inférieures à celles annoncées par les constructeurs et vérifiées en pratique par les utilisateurs ce qui tendrait a indiquer que les estimations de coefficient de trainée aérodynamique et de résistance au roulement ainsi que de puissance de pédalage du présent calcul sont un peu pessimistes, mais elles seraient facile à corriger et le principe du calcul demeure applicable à tout véhicule électrique.