L'équation du vélo
Cette équation permet de connaitre la relation entre la puissance W (watts) de propulsion (qu'elle soit électrique ou humaine , ou addition des deux), la pente à gravir p ( les côtes sévères atteignent la pente de 10%, les pentes faibles sont de l'ordre de 1 à quelques %) et la vitesse V (km/h). La pente inclus un coefficient de roulement très variable selon le vélo et les pneus (de 0.5% à 1.5% en fonction de la pression des pneus, de la lubrification des roulements, de la dureté des suspensions, de l'état du revêtement du terrain).
Pour une puissance donnée, la courbe raccorde une hyperbole (dans la partie haute des faibles vitesses) sur la parabole qui correspond à une puissance nulle (la pente varie alors comme le carré de la vitesse d'équilibre).
Le calcul a été fait pour une masse totale du véhicule chargé de 100 kg, l'effet de la masse joue comme un facteur d'homotéthie de la pente (si le vélo est deux fois plus léger on montera une pente deux fois plus forte à la même vitesse avec la même puissance propulsive).
Il a été fait également sans vent : L'effet du vent aurait pour effet de décaler d'autant la parabole selon l'échelle des vitesses. Le vent moyen le plus courant est de 1 m/s, c'est à dire 3.6 km/h.
On voit qu'en roue libre, sans puissance propulsive, une pente relativement faible, de l'ordre de 5%, emmène déjà le vélo à une vitesse de près de 40 km/h.
On voit que pour un pédalage modéré sans assistance (50 watts), on ne dépasse pas les 15 à 20 km/h sur le plat, compte-tenu du coefficient de roulement et éventuellement du vent.
Par contre, si l'on dispose d'une assistance de seulement 100 watts on peut dépasser les 20-25 km/h sur le plat ou en pentes faibles.
Il s'agit de puissance mécanique à la roue, compte-tenu des rendements électriques et mécaniques, celle-ci doit être augmentée si l'on considère le débit du courant électrique et sa tension (w=V*i).
Une puissance de 400 watts permet effectivement de "monter 100 kg aux arbres", c'est à dire gravir des pentes élevées, plus de 10%, à vitesse faible (5 à 10 km/h), et d'atteindre 40 km/h sur le plat
Si l'on cherche à rouler entre 20 et 30 km/h sur pentes faibles et compte-tenu de la résistance au roulement et du vent moyen, une puissance additionnelle de 50 à 150 watts (mécaniques) est nécessaire, soit une consommation de 200 watts environ sur les batteries d'un vélo à assistance électrique.

Si l'on utilise l'assistance pendant une heure, ces 200 wattsheure correspondent sous la tension de 24 volts à une capacité de 8 ampères-heures environ (cas général des batteries ni-mh actuelles pour les vélos assistés).Pour une batterie au plomb ce capacité C ah on recommande de ne pas décharger à un courant supérieur à C ampères, et ne pas recharger à un courant supérieur à C/10.
En général le rendement du moteur électrique est meilleur dans une certaine plage de vitesse de rotation, et il en va de même pour la propulsion musculaire (environ 70 tours de pédalier par minute). Lorsqu'on ajoute un moteur électrique sur un vélo il faut donc veiller à ce que le rapport de démultiplication maxi (nombre de dents grand plateau/petit pignon) permette de pédaler encore efficacement à la vitesse max visée avec l'assistance. A l'inverse comme le vélo assisté est un peu plus lourd et si l'on choisit de monter les pentes raides sans assistance (afin de préserver l'autonomie sur le plat), le rapport de démultiplication mini (nombre de dents petit plateau / grand pignon) doit permettre de rouler à vitesse lente en pédalant autour de 70 tours de pédalier par minutes.
Par exemple sur mon vtt, grand plateau 42 dents, petit pignon 14, la vitesse à 70 tr/minutes et roues de 26 pouces (tour de pneu = 2 m) est de 70*60*2*42/14/1000 = 25 km/h.
Je vois par exemple sur le diagramme qu'avec mes 50 watts musculaires, sur le plat et sans vent, pour un coefficient de roulement équivalent à une pente de 1%, je ne dépasse pas 15 km/h, tandis que si je rajoute seulement 50 watts d'assistance d'origine électrique, je dépasse les 20 km/h., et si je rajoutais encore 100 watts d'assistance j'atteindrais au total 200 watts et donc 30 km/h.(à condition de changer le grand plateau pour un 52 dents au lieu des 42).